Question

【題目】有一個二次函數滿足以下條件：

①函數圖象與x軸的交點坐標分別為A（1，0），B（x2，y2）（點B在點A的右側）；

②對稱軸是x=3；

③該函數有最小值是﹣2．

（1）請根據以上信息求出二次函數表達式；

（2）將該函數圖象x＞x2的部分圖象向下翻折與原圖象未翻折的部分組成圖象“G”，平行于x軸的直線與圖象“G”相交于點C（x3，y3）、D（x4，y4）、E（x5，y5）（x3＜x4＜x5），結合畫出的函數圖象求x3+x4+x5的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣3）2﹣2；（2）11＜x3+x4+x5＜9+2．

【解析】

（1）利用二次函數解析式的頂點式求得結果即可；

（2）由已知條件可知直線與圖象“G”要有3個交點．分類討論：分別求得平行于x軸的直線與圖象“G”有2個交點、1個交點時x3＋x4＋x5的取值范圍，易得直線與圖象“G”要有3個交點時x3＋x4＋x5的取值范圍．

（1）有上述信息可知該函數圖象的頂點坐標為：（3，﹣2）

設二次函數表達式為：y=a（x﹣3）2﹣2．

∵該圖象過A（1，0）

∴0=a（1﹣3）2﹣2，解得a=．

∴表達式為y=（x﹣3）2﹣2

（2）如圖所示：

由已知條件可知直線與圖形“G”要有三個交點

1當直線與x軸重合時，有2個交點，由二次函數的軸對稱性可求x3+x4=6，

∴x3+x4+x5＞11，

當直線過y=（x﹣3）2﹣2的圖象頂點時，有2個交點，

由翻折可以得到翻折后的函數圖象為y=﹣（x﹣3）2+2，

∴令（x﹣3）2+2=﹣2時，解得x=3+2或x=3﹣2（舍去）

∴x3+x4+x5＜9+2．

綜上所述11＜x3+x4+x5＜9+2．