Question

【題目】已知，如圖①，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點P為線段BC上的一動點（不運動到C，B兩點）過點P作PQ⊥BC交AB于點Q，在AC邊上取一點D，使QD=QP，連結DP，設CP=x

（1）求QP的長，用含x的代數式表示．
（2）當x為何值時，△DPQ為直角三角形？
（3）記點D關于直線PQ的對稱點為點D′．
①當點D′落在AB邊上時，求x的值；
②在①的條件下，如圖②，將此時的△DPQ繞點P順時針旋轉一個角度α（0°＜α＜∠DPB），在旋轉過程中，設DP所在的直線與直線AB交于點M，與直線AC交于點N，是否存在這樣的M，N兩點，使△AMN為等腰三角形？若存在，求出此時AN的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

∵PQ⊥BC，

∴∠QPB=∠C=90°，

∴PQ∥AC，

∴ = ，

∴ = ，

∴PQ= （4﹣x）

（2）

解：因為△DPQ為直角三角形，由題意只有∠DQP=90°，如圖2中，

∵∠DQP=∠C=∠QPC=90°，

∴四邊形PCDQ是矩形，

∵DQ=PQ，

∴四邊形PCDQ是正方形，

∵∴PQ∥AC，

∴ = ，

∴ = ，

∴x= ，

∴當x= 時，△PDQ是直角三角形．

（3）

解：①當點D′落在AB邊上時，如圖3中，設PQ與DD′交于點H．作 于M．

∵∠QHD′=∠C=90°，∠HD′Q=∠B，

∴△QHD′∽△ACB，

∴ = ，

∵D′M∥AC，

∴ = ，

∴ = ，

∴D′M=3﹣ x，

∴QH=PQ﹣PH=3﹣ x﹣3+ x= x，

∴ = ，

∴x= ．

∴x= 時，點D′落在AB邊上．

②由題意只有旋轉到如圖位置時，△AMN是等腰三角形，此時AN=AM．

作PH⊥AB于H，

∵PC= ，

∴PB=BC﹣PC=4﹣ = ，

∵sin∠ABC= = ，

∴ = ，

∴PH= ，

∴PC=PH，∵PC⊥AC，PH⊥AB，

∴PA平分∠BAC，

∵AN=AM，

∴AP⊥MN，

∵∠PAC=∠PAN，∠ACP=∠APN，

∴△ACP∽△APN，

∴ = ，

∴ = ，

∴AN= ．

【解析】（1）由PQ∥AC，得 = ，列出方程即可解決問題．（2）因為△DPQ為直角三角形，由題意只有∠DQP=90°，如圖2中，首先證明四邊形PCDQ是正方形，由PQ∥AC，得 = ，列出方程即可解決問題．（3）①當點D′落在AB邊上時，如圖3中，設PQ與DD′交于點H．作 于M．由△QHD′∽△ACB，得 = ，由D′M∥AC，得到 = ，求出D′M，列出方程即可解決問題．
②由題意只有旋轉到如圖位置時，△AMN是等腰三角形，此時AN=AM．首先證明PA平分∠BAC，再根據△ACP∽△APN，得 = ，列出方程即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了比例的性質的相關知識點，需要掌握基本性質；更比性質（交換比例的內項或外項）；反比性質（交換比的前項、后項）；等比性質才能正確解答此題．