Question

【題目】直線CD經過的頂點C，CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點，且．

（1）若直線CD經過的內部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：

①如圖1，若，則 （填“”，“”或“”號）；

②如圖2，若，若使①中的結論仍然成立，則與應滿足的關系是 ；

（2）如圖3，若直線CD經過的外部，，請探究EF、與BE、AF三條線段的數量關系，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）①=；②∠α+∠BCA=180°；（2）EF=BE+AF ，證明見解析．

【解析】

（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因為EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|；
②只有滿足△BEC≌△CDA，才有①中的結論，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形內角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°．
（2）只要通過條件證明△BEC≌△CFA（可通過ASA證得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF．

解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在△BEC與△CDA中，

∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∵EF=CF-CE，
∴EF=|BE-AF|；

故答案為：=；
②∠α與∠BCA應滿足的關系是∠α+∠BCA=180°，理由為：
∵∠α+∠BCA=180°，
∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°，
∵∠α+∠BCE+∠CBE=180°（三角形內角和等于180°），
∴∠CBE=∠ACD，
又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∵EF=CF-CE，
∴EF=|BE-AF|；
則∠α與∠BCA應滿足的關系是∠α+∠BCA=180°；

故答案為：∠α+∠BCA=180°；
（2）探究結論：EF=BE+AF，
證明：∵∠1+∠2+∠BCA=180°，∠2+∠3+∠CFA=180°
又∵∠BCA=∠α=∠CFA，
∴∠1=∠3；
又∵∠BEC=∠CFA=∠α，CB=CA，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∴EF=EC+CF=BE+AF．