Question

【題目】已知直線y=2x﹣5與x軸和y軸分別交于點A和點B，拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個交點為N．

（1）如圖，當點M與點A重合時，求拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，求點N的坐標和線段MN的長；
（3）拋物線y=﹣x2+bx+c在直線AB上平移，是否存在點M，使得△OMN與△AOB相似？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=2x﹣5與x軸和y軸分別交于點A和點B，

∴A（ ，0），B（0，﹣5）．

當點M與點A重合時，∴M（ ，0），

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣ ）2，即y=﹣x2+5x﹣

（2）

解：N在直線y=2x﹣5上，設N（a，2a﹣5），又N在拋物線上，

∴2a﹣5=﹣a2+5a﹣ ，解得a1= ，a2= （舍去），

∴N（ ，﹣4）．

過點N作NC⊥x軸，垂足為C，如圖1

，

∵N（ ，﹣4），

∴C（ ，0），

∴NC=4．MC=OM﹣OC= ﹣ =2，

∴MN= = =2

（3）

解：設M（m，2m﹣5），N（n，2n﹣5）．

∵A（ ，0），B（0﹣，5），

∴OA= ，OB=5，則OB=2OA，AB= = ，

如圖2

，

當∠MON=90°時，∵AB≠MN，且MN和AB邊上的高相等，因此△OMN與△AOB不能全等，

∴△OMN與△AOB不相似，不滿足題意；

當∠OMN=90°時， = ，即 = ，解得OM= ，

則m2+（2m﹣5）2=（ ）2，解得m=2，∴M（2，﹣1）；

當∠ONM=90°時， = ，即 = ，解得ON= ，則n2+（2n﹣5）2=（ ）2，解得n=2，

∵OM2=ON2+MN2，即m2+（2m﹣5）2=5+（2 ）2，解得m=4，則M點的坐標為（4，3），

綜上所述：M點的坐標為（2，﹣1）或（4，3）

【解析】（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得A，B的值，根據頂點式，可得函數解析式；（2）根據函數圖像上的點滿足函數解析式，可得N點坐標，根據勾股定理，可得答案；（3）根據相似三角形的性質，可得關于m的方程，可得M點的坐標，要分類討論，以防遺漏．