Question

如圖，經過原點的拋物線y=-x2+bx（b＞2）與x軸的另一交點為A，過點P（1，）作直線PN⊥x軸于點N，交拋物線于點B．點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C．連結CB，CP．

（1）當b=4時，求點A的坐標及BC的長；

（2）連結CA，求b的適當的值，使得CA⊥CP；

（3）當b=6時，如圖2，將△CBP繞著點C按逆時針方向旋轉，得到△CB′P′，CP與拋物線對稱軸的交點為E，點M為線段B′P′（包含端點）上任意一點，請直接寫出線段EM長度的取值范圍．

 

Answer 1

（1）（4，0），2；（2）3；（3）4-≤EM≤3．

【解析】

試題分析：（1）利用拋物線y=-x2+4x，求出點A的坐標及BC的長，

（2）過點C作CD⊥x軸于點D，利用△CBP∽△CDA，求出b的值．

（3）利用拋物線y=-x2+6x，求出BC，PC及EP的長，再分兩種情況①當BC在CP上時，且M點與B′點重合時線段EM最短，②當BC在PC延長線上時，且M點與P′點重合時線段EM最長，求出線段EM長度的取值范圍．

試題解析：（1）∵b=4，

∴拋物線y=-x2+4x，

在y=-x2+4中，

令y=0，得-x2+4x=0，

∴x1=0，x2=4

∴A（4，0）

令x=1，得y=3

∴B（1，3）

∵對稱軸x=-=2

∴C（3，3）

∴BC=2

（2）如圖1，過點C作CD⊥x軸于點D，

∵∠BCP+∠PCD=90°，∠DCA+∠PCD=90°，

∴∠BCP=∠DCA，

又∵∠CBP=∠CDA=90°

∴△CBP∽△CDA

∴

在y=-x2+bx中，

令x=1，則y=b-1

∴B（1，b-1）

又∵對稱軸x=-，

∴BC=2（-1）=b-2，

∴C（b-1，b-1），

∴CD=b-1，BC=b-2，DA=ON=1，BP=b-1-=-1，

∴，

∴b=3．

（3）∵b=6，

∴拋物線y=-x2+6x

在y=-x2+6x中，

令x=1，得y=5

∴B（1，5）

∵對稱軸x=

∴C（5，5）

∴BC=4，

∵P（1，），

∴P（1，3），

∴BP=5-3=2，

∴PC=

∵CP與拋物線對稱軸的交點為E，

∴EP=EC=PC=，

①如圖2，當BC在CP上時，且M點與B′點重合時線段EM最短，

∴EM=EP-（PC-BC）=-（2-4）=4-．

②如圖3，當BC在PC延長線上時，且M點與P′點重合時線段EM最長，

EM=EC+P′C=+2=3．

∴4-≤EM≤3．

考點：二次函數綜合題．