Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形連接AC交EF于G，下列結論: ①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC⊥EF，④BE+DF＝EF，⑤EC＝FG；其中正確結論有( )個

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據已知條件易證△ABE≌△ADF，根據全等三角形的性質即可判定①②；由正方形的性質就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，即可判定③；設EC=FC=x，由勾股定理和三角函數計算后即可判定④⑤．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．

∵△AEF等邊三角形，

∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．

∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

,

Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF（故①正確）．

∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°，

即∠DAF=15°（故②正確），

∵BC=CD，

∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，

∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF．（故③正確）．

設EC=FC=x，由勾股定理，得:

,

∴EC≠FG（⑤錯誤）

在Rt△AEG中，

,

,

,

,

，（故④錯誤），

綜上所述，正確的結論為①②③，共3個，

故選B．