Question

【題目】已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點E為△ABC內一點，連接AE，CE，CE⊥AE，過點B作BD⊥AE，交AE的延長線于D．

（1）如圖1，求證BD=AE；

（2）如圖2，點H為BC中點，分別連接EH，DH，求∠EDH的度數；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點M為CH上的一點，連接EM，點F為EM的中點，連接FH，過點D作DG⊥FH，交FH的延長線于點G，若GH：FH=6：5，△FHM的面積為30，∠EHB=∠BHG，求線段EH的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝10．

【解析】

（1）根據全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，進而利用全等三角形的性質得出AE＝BD即可；

（2）根據全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，進而利用全等三角形的性質解答即可；

（3）過點M作MS⊥FH于點S，過點E作ER⊥FH，交HF的延長線于點R，過點E作ET∥BC，根據全等三角形判定和性質解答即可．

證明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°，

∴∠ACE＝∠BAD，

在△CAE與△ABD中

∴△CAE≌△ABD（AAS），

∴AE＝BD；

（2）連接AH

∵AB＝AC，BH＝CH，

∴∠BAH＝，∠AHB＝90°，

∴∠ABH＝∠BAH＝45°，

∴AH＝BH，

∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，

∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD，

∴∠EAH＝∠DBH，

在△AEH與△BDH中

∴△AEH≌△BDH（SAS），

∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD，

∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90°

即∠EHD＝90°，

∴∠EDH＝∠DEH＝；

（3）過點M作MS⊥FH于點S，過點E作ER⊥FH，交HF的延長線于點R，過點E作ET∥BC，交HR的延長線于點T．

∵DG⊥FH，ER⊥FH，

∴∠DGH＝∠ERH＝90°，

∴∠HDG+∠DHG＝90°

∵∠DHE＝90°，

∴∠EHR+∠DHG＝90°，

∴∠HDG＝∠HER

在△DHG與△HER中

∴△DHG≌△HER （AAS），

∴HG＝ER，

∵ET∥BC，

∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET，

∠ETF＝∠FHM，

∵∠EHB＝∠BHG，

∴∠HET＝∠ETF，

∴HE＝HT，

在△EFT與△MFH中

，

∴△EFT≌△MFH（AAS），

∴HF＝FT，

∴，

∴ER＝MS，

∴HG＝ER＝MS，

設GH＝6k，FH＝5k，則HG＝ER＝MS＝6k，

，

k＝，

∴FH＝5，

∴HE＝HT＝2HF＝10．