Question

【題目】在線段AB的同側作射線AM和BN，若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN，AM于點E，F，AE和BF交于點P．如圖，點點同學發現當射線AM，BN交于點C；且∠ACB=60°時，有以下兩個結論：

①∠APB=120°；②AF+BE=AB．

那么，當AM∥BN時：

（1）點點發現的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請求出∠APB的度數，寫出AF，BE，AB長度之間的等量關系，并給予證明；

（2）設點Q為線段AE上一點，QB=5，若AF+BE=16，四邊形ABEF的面積為，求AQ的長．

Answer 1

【答案】（1）原命題不成立，新結論為：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB）；（2）當∠FAB=60°時，AQ=或．

【解析】

試題分析：（1）由角平分線和平行線整體求出∠MAB+∠NBA，從而得到∠APB=90°，最后用等邊對等角，即可．

（2）先根據條件求出AF，FG，求出∠FAG=60°，最后分兩種情況討論計算．

試題解析：（1）原命題不成立，新結論為：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB）．

理由：∵AM∥BN，∴∠MAB+∠NBA=180°，∵AE，BF分別平分∠MAB，NBA，∴∠EAB=∠MAB，∠FBA=∠NBA，∴∠EAB+∠FBA=（∠MAB+∠NBA）=90°，∴∠APB=90°，∵AE平分∠MAB，∴∠MAE=∠BAE，∵AM∥BN，∴∠MAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理：AF=AB，∴AF=+BE=2AB（或AF=BE=AB）；

（2）如圖1，過點F作FG⊥AB于G，∵AF=BE，AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AF+BE=16，∴AB=AF=BE=8，∵=8×FG，∴FG=，在Rt△FAG中，AF=8，∴∠FAG=60°，當點G在線段AB上時，∠FAB=60°，當點G在線段BA延長線時，∠FAB=120°．

①如圖2，當∠FAB=60°時，∠PAB=30°，∴PB=4，PA=，∵BQ=5，∠BPA=90°，∴PQ=3，∴AQ=或AQ=．

②如圖3，當∠FAB=120°時，∠PAB=60°，∠FBG=30°，∴PB=，∵PB=＞5，∴線段AE上不存在符合條件的點Q，∴當∠FAB=60°時，AQ=或．