Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點B，與y軸交于點A，與反比例函數y= 的圖象在第二象限交于點C，CE⊥x軸，垂足為點E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．

（1）求反比例函數的解析式；
（2）若點D是反比例函數圖象在第四象限上的點，過點D作DF⊥y軸，垂足為點F，連接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO ， 求點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OB=4，OE=2，

∴BE=OB+OE=6．

∵CE⊥x軸，

∴∠CEB=90°．

在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，

∴CE=BEtan∠ABO=6× =3，

結合函數圖象可知點C的坐標為（﹣2，3）．

∵點C在反比例函數y= 的圖象上，

∴m=﹣2×3=﹣6，

∴反比例函數的解析式為y=﹣ ．

（2）

解：∵點D在反比例函數y=﹣ 第四象限的圖象上，

∴設點D的坐標為（n，﹣ ）（n＞0）．

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，

∴OA=OBtan∠ABO=4× =2．

∵S△BAF= AFOB= （OA+OF）OB= （2+ ）×4=4+ ．

∵點D在反比例函數y=﹣ 第四象限的圖象上，

∴S△DFO= ×|﹣6|=3．

∵S△BAF=4S△DFO，

∴4+ =4×3，

解得：n= ，

經驗證，n= 是分式方程4+ =4×3的解，

∴點D的坐標為（ ，﹣4）．

【解析】本題考查了解直角三角形、反比例函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積公式以及反比例函數系數k的幾何意義，解題的關鍵是：（1）求出點C的坐標；（2） 根據三角形的面積間的關系找出關于n的分式方程．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，找出點的坐標，再利用反比例函數圖象上點的坐標 特征求出反比例函數系數是關鍵．（1）由邊的關系可得出BE=6，通過解直角三角形可得出CE=3，結合函數圖象即可得出點C的坐標，再根據點C的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征，即可求出反比例函數系數m，由此即可得出結論；（2）由點D在反比例函數在第四象限的圖象上，設出點D的坐標為（n，﹣ ）（n＞0）．通過解直角三角形求出線段OA的長度，再利用三角形的面積公式利用含n的代數式表示出S△BAF ， 根據點D在反比例函數圖形上利用反比例函數系數k的幾何意義即可得出S△DFO的值，結合題意給出的兩三角形的面積間的關系即可得出關于n的分式方程，解方程，即可得出n值，從而得出點D的坐標．
【考點精析】本題主要考查比例系數k的幾何意義的相關知識點，需要掌握幾何意義：表示反比例函數圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積才能正確解答此題．