Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P從點O出發，乙每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時點E也從點O出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，設點P的運動時間t秒（0＜t＜2）．
①過點E作x軸的平行線，與BC相交于點D（如圖所示），當t為何值時， 的值最小，求出這個最小值并寫出此時點E、P的坐標；
②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使△EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2）．

∴ ，

解得：

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x+2．

（2）

解：①由題意得：OP=2t，OE=t，

∵DE∥OB，

∴△CDE∽△CBO，

∴ ，即 ，

∴DE=4﹣2t，

∴ ，

∵0＜t＜2，1﹣（t﹣1）2始終為正數，且t=1時，1﹣（t﹣1）2有最大值1，

∴t=1時， 有最小值1，即t=1時， 有最小值1，此時OP=2，OE=1，

∴E（0，1），P（2，0）；

②存在，

∵拋物線y= x2﹣ x+2的對稱軸方程為x=3，

設F（3，m），

∴EP2=5，PF2=（3﹣2）2+m2，EF2=（m﹣1）2+32，

當△EFP為直角三角形時，

（a）當∠EPF=90°時，

EP2+PF2=EF2，

即5+1+m2=（m﹣1）2+32，

解得：m=2，

（b）當∠EFP=90°時，

EF2+FP2=PE2，

即（m﹣1）2+32+（3﹣2）2+m2=5，

此方程無解，不合題意舍去，

∴當∠EFP=90°時，

這種情況不存在，

（c）當∠PEF=90°時，

EF2+PE2=PF2，

即（m﹣1）2+32+5=（3﹣2）2+m2，

解得：m=7，

∴F（3，2），（3，7）．

【解析】（1）利用待定系數法求函數解析式即可；（2）①由題意得：OP=2t，OE=t，通過△CDE∽△CBO得到 ，即 ，求得 有最小值1，即可求得結果；②存在，求得拋物線y= x2﹣ x+2的對稱方程為x=3，設F（3，m），當△EFP為直角三角形時（a）當∠EPF=90°時，（b）當∠EFP=90°時，（c）當∠PEF=90°時，根據勾股定理列方程即可求得結果．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．