Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，P是對角線AC上任一點（不與A，C重合），連接BP，DP，過P作PE∥CD交AD于E，過P作PF∥AD交CD于F，連接EF．
（1）求證：△ABP≌△ADP；
（2）若BP=EF，求證：四邊形EPFD是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，

∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，

∵在△APB和△APD中， ，

∴△ABP≌△ADP（SAS）

（2）證明：∵PE∥CD，PF∥AD，

∴四邊形EPFD是平行四邊形，

由（1）得：△ABP≌△ADP，

∴BP=DP，

又∵BP=EF，

∴DP=EF，

∴四邊形EPFD是矩形

【解析】（1）根據菱形的性質得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△ABP≌△ADP即可；（2）先證明四邊形EPFD是平行四邊形，再由全等三角形的性質得出BP=DP，由已知證出DP=EF，即可得出結論．
【考點精析】通過靈活運用菱形的性質和矩形的判定方法，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形即可以解答此題．