Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：①BE=DF；②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△AEC=S△ABC，其中正確結論有（　　）個．

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Answer 1

【答案】C

【解析】

試題∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF，

∴①說法正確；

∵BC=DC，

∴BC-BE=CD-DF，

∴CE=CF，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴∠CFE=45°

∴∠AFD=75°

∴∠DAF=15°

∴②正確；

∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠BCA=45°

∴AC⊥EF

又CE=CF

∴AC垂直平分EF，

∴③正確；

在AD上取一點G，連接FG，使AG=GF，

則∠DAF=∠GFA=15°，

∴∠DGF=2∠DAF=30°，

設DF=1，則AG=GF=2，DG=，

∴AD=CD=2+，CF=CE=CD-DF=1+，

∴EF=CF=+，而BE+DF=2，

∴④說法錯誤；

∵S△ABE+S△ADF=2S△ABE=2×AD×DF=2+，

S△CEF=CE×CF=，

∴⑤正確

故選B.

考點: 1.正方形的性質；2.全等三角形的判定與性質；3.等邊三角形的性質．