Question

【題目】如圖，拋物線y＝－[(x－2)2＋n]與x軸交于點A(m－2，0)和B(2m＋3，0)(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，連接BC.

(1)求m，n的值；

(2)點N為拋物線上的一動點，且位于直線BC上方，連接CN，BN.求△NBC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）m＝1，n＝－9；（2）.

【解析】試題分析：（1）由拋物線解析式可得出拋物線的對稱軸為直線x＝2，又由點A和點B是拋物線與x軸的交點，則A和B關于對稱軸對稱，則＝2，便可求得m，得出點A和點B坐標，將A坐標代入拋物線便求得n；

（2）過點N作ND∥y軸交BC于D.先求得BC解析式，設點N坐標(x，－x2＋x＋3)，便可得點D坐標，則得ND的值，由S△NBC＝S△NDC＋S△NDB＝×5×ND得S△NBC關于x的二次函數，便可求得最大值.

解：(1)∵拋物線的解析式為y＝－[(x－2)2＋n]＝－(x－2)2－n，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2.∵點A和點B關于直線x＝2對稱，∴＝2，解得m＝1，∴點A的坐標為(－1，0)，點B的坐標為(5，0)．把A(－1，0)代入y＝－[(x－2)2＋n]得9＋n＝0，解得n＝－9.

(2)過點N作ND∥y軸交BC于D.由(1)可得拋物線的解析式為y＝－[(x－2)2－9]＝－x2＋x＋3.當x＝0時，y＝3，則點C的坐標為(0，3)．設直線BC的解析式為y＝kx＋b，把B(5，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b得 ，解得 .∴直線BC的解析式為y＝－x＋3.設點N的坐標為(x，－x2＋x＋3)，則點D的坐標為(x，－x＋3)，∴ND＝－x2＋x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x，∴S△NBC＝S△NDC＋S△NDB＝×5×ND＝(－x2＋3x)＝－x2＋x＝－ ＋，當x＝時，△NBC面積最大，最大值為.