Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E是BC延長線上一點，在AB上取一點F，使點B關于直線EF的對稱點G落在AD上，連接EG交CD于點H，連接BH交EF于點M，連接CM．則下列結論，其中正確的是（　　）

①∠1＝∠2；

②∠3＝∠4；

③GD＝CM；

④若AG＝1，GD＝2，則BM＝．

A.①②③④B.①②C.③④D.①②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①正確．如圖1中，過點B作BK⊥GH于K．想辦法證明Rt△BHK≌Rt△BHC（HL）可得結論．

②正確．分別證明∠GBH=45°，∠4=45°即可解決問題．

③正確．如圖2中，過點M作MW⊥AD于W，交BC于T．首先證明MG=MD，再證明△BTM≌△MWG（AAS），推出MT=WG可得結論．

④正確．求出BT=2，TM=1，利用勾股定理即可判斷．

解：如圖1中，過點B作BK⊥GH于K．

∵B，G關于EF對稱，

∴EB＝EG，

∴∠EBG＝∠EGB，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，

∴∠AGB＝∠EBG，

∴∠AGB＝∠BGK，

∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG，

∴△BAG≌△BKG（AAS），

∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，

∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，

∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），

∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故①正確，

∴∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝∠ABC＝45°，

過點M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R．

∵∠1＝∠2，

∴MQ＝MP，

∵∠MEQ＝∠MER，

∴MQ＝MR，

∴MP＝MR，

∴∠4＝∠MCP＝∠BCD＝45°，

∴∠GBH＝∠4，故②正確，

如圖2中，過點M作MW⊥AD于W，交BC于T．

∵B，G關于EF對稱，

∴BM＝MG，

∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM，

∴△MCB≌△MCD（SAS），

∴BM＝DM，

∴MG＝MD，

∵MW⊥DG，

∴WG＝WD，

∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°，

∴∠BMT+∠GMW＝90°，

∵∠GMW+∠MGW＝90°，

∴∠BMT＝∠MGW，

∵MB＝MG，

∴△BTM≌△MWG（AAS），

∴MT＝WG，

∵MC＝TM，DG＝2WG，

∴DG＝CM，故③正確，

∵AG＝1，DG＝2，

∴AD＝AB＝TM＝3，EM＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2，

∴BM＝，故④正確，

故選：A．