Question

【題目】△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△EDF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合，將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．

（1）如圖①，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：△BPE≌△CQE；

（2）如圖②，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE∽△CEQ；

（3）在（2）的條件下，BP=2，CQ=9，則BC的長為_______．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由AB=AC，AP=AQ可得BP=CQ，又因BE=CE，∠B=∠C=45°，利用“SAS”判定△BPE≌△CQE；

（2）如下圖，連接PQ，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，所以∠BEP=∠EQC；再由兩角對應相等的兩個三角形相似可得△BPE∽△CEQ；

（3）根據相似三角形的性質可得，把BP=2，CQ=代入上式可求得BE=CE，進而求得BC的長．

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°，AB=AC，

∵AP=AQ，

∴BP=CQ，

∵E是BC的中點，

∴BE=CE，

在△BPE和△CQE中，

∵，

∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）如下圖，連接PQ，

∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，

即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，

∴∠BEP=∠EQC，

∴△BPE∽△CEQ；

（3）∵△BPE∽△CEQ

∴

∵BP=2，CQ=9，BE=CE

∴

∴BE=CE=

∴BC=．