Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．

（1）求過點A，C的直線解析式和過點A，B，C的拋物線的解析式；
（2）求過點A，B及拋物線的頂點D的⊙P的圓心P的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點Q，使AQ與⊙P相切，若存在請求出Q點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣2，0），B（2，0）；

∴設二次函數的解析式為y=a（x﹣2）（x+2）…①，

把C（3，5）代入①得a=1；

∴二次函數的解析式為：y=x2﹣4；

設一次函數的解析式為：y=kx+b（k≠0）…②

把A（﹣2，0），C（3，5）代入②得 ，

解得 ，

∴一次函數的解析式為：y=x+2

（2）

解：設P點的坐標為（0，Py），

由（1）知D點的坐標為（0，﹣4）；

∵A，B，D三點在⊙P上；

∴PB=PD；

∴22+Py2=（﹣4﹣Py）2，

解得：Py=﹣ ；

∴P點的坐標為（0，﹣ ）

（3）

解：在拋物線上存在這樣的點Q使直線AQ與⊙P相切．

理由如下：設Q點的坐標為（m，m2﹣4）；

根據平面內兩點間的距離公式得：AQ2=（m+2）2+（m2﹣4）2，PQ2=m2+（m2﹣4+ ）2；

∵AP= ，

∴AP2= ；

∵直線AQ是⊙P的切線，

∴AP⊥AQ；

∴PQ2=AP2+AQ2，

即：m2+（m2﹣4+ ）2= +[（m+2）2+（m2﹣4）2]

解得：m1= ，m2=﹣2（與A點重合，舍去）

∴Q點的坐標為（ ， ）．

【解析】本題考查了二次函數的綜合題，涉及的知識點還有利用待定系數法求一次函數的解析式和二次函數的解析式，一元二次方程，是一道綜合性較強的題目，但難度不大，要熟練掌握解題思路和方法．（1）利用拋物線和x軸的兩個交點坐標，設出拋物線的解析式y=a（x﹣x1）（x﹣x2），代入即可得出拋物線的解析式，再設出直線AC的解析式，利用待定系數法即可得出答案；（2）先求得拋物線的頂點D的坐標，再設點P坐標（0，Py），根據A，B，D三點在⊙P上，得PB=PD，列出關于Py的方程，求解即可得出P點的坐標；（3）假設拋物線上存在這樣的點Q使直線AQ與⊙P相切，設Q點的坐標為（m，m2﹣4），根據平面內兩點間的距離公式，即可得出關于m的方程，求出m的值，即可得出點Q的坐標．
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數的表達式，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法即可以解答此題．