Question

【題目】如圖，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.動點P從點A出發，沿軸以每秒1個單位長的速度向上移動，且過點P的直線l：y＝－x+b也隨之移動，設移動時間為t秒.

（1）當t＝3時，求l的解析式；
（2）若點M，N位于l的異側，確定t的取值范圍；
（3）直接寫出t為何值時，點M關于l的對稱點落在坐標軸上.

Answer 1

【答案】
（1）解：直線y=-x+b交y軸于點P（0，b），

由題意，得b＞0，t≥0，b=1+t．

當t=3時，b=4，

故y=-x+4．

（2）解：當直線y=-x+b過點M（3，2）時，

2=-3+b，

解得：b=5，

5=1+t，

解得t=4．

當直線y=-x+b過點N（4，4）時，

4=-4+b，

解得：b=8，

8=1+t，

解得t=7．

故若點M，N位于l的異側，t的取值范圍是：4＜t＜7．

（3）解：如圖，過點M作MF⊥直線l，交y軸于點F，交x軸于點E，則點E、F為點M在坐標軸上的對稱點．

過點M作MD⊥x軸于點D，則OD=3，MD=2．

已知∠MED=∠OEF=45°，則△MDE與△OEF均為等腰直角三角形，

∴DE=MD=2，OE=OF=1，

∴E（1，0），F（0，-1）．

∵M（3，2），F（0，-1），

∴線段MF中點坐標為（ ， ）．

直線y=-x+b過點（ ， ），則 =- +b，解得：b=2，

2=1+t，

解得t=1．

∵M（3，2），E（1，0），

∴線段ME中點坐標為（2，1）．

直線y=-x+b過點（2，1），則1=-2+b，解得：b=3，

3=1+t，

解得t=2．

故點M關于l的對稱點，當t=1時，落在y軸上，當t=2時，落在x軸上．

【解析】（1）利用直線的平移規律，上加下減，可求出解析式;(2)l令直線y=-x+b過點M、N，求出這兩個臨界點對應的t值，t的范圍就是介于這兩個值之間；（3）坐標軸包括x、y軸，分兩類，利用軸對稱的性質，求出t值.