Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC＝2，∠ABC＝30°，點E是射線DA上一動點，把△CDE沿CE折疊，點D的對應點為D′，連接D′B.若△D′BC為等邊三角形，則DE＝____________．

Answer 1

【答案】2－2或＋1

【解析】先判斷ABCD是菱形，根據菱形的性質可得：∠D=∠ABC=30°，∠BCD=150°，然后根據△D′BC為等邊三角形，可得∠BCD′=60°，然后根據折疊的性質可得：△DCE≌△D′CE，進而可得∠DCE=45°，然后過點E作EF⊥CD，垂足為F，然后解直角三角形DEF即可求出DE的值．

①如圖（1）所示，當點E在邊AD上時． ∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC＝2，∴四邊形ABCD是菱形．

∵AB=2，∠ABC=30°，∴CD=AB=2，∠D=∠A=30°，∠BCD=150°．

∵△D′BC為等邊三角形，∴∠BCD′=60°，∴∠DCD′=90°．

∵△CDE沿CE折疊，得到△CD′E，∴△DCE≌△D′CE，∴∠DCE=DCD′=45°，過點E作EF⊥CD，垂足為F，則∠CFE=90°，∴∠CEF=∠DCE=45°，∴CF=EF．在Rt△DEF中，∠D=30°，∴EF=DE，設EF=x，則DE=2x，CF=x，由勾股定理可得：FD=x．

∵CF+FD=CD=2，即x+=2，解得：x=，∴DE=2x=2﹣2．

②當點E在DA的延長線上時，如圖（2），過點B作BF⊥AD，交DA的延長線于點F．由折疊可知∠ED′C=∠D=30°，又∠BD′C=60°，所以D′E為∠BD′C的平分線．

又∵△BD′C是等邊三角形，∴D′E⊥BC．

又∵AD∥BC，∴D′E⊥AD．

∵∠ABC=30°，∴∠BAF=30°．

又∵AB=2，∴AD=，令D′E與BC的交點為G，則易知EF=BG=BC=1，

∴AE=﹣1，∴DE=+1．

故答案為：2﹣2或+1．