Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O直徑，D是 的中點，DE⊥AC交AC的延長線于E，⊙O的切線交AD的延長線于F．

（1）求證：直線DE與⊙O相切；
（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半徑為5，求tan∠F的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，BC，

∵D是弧BC的中點，

∴OD垂直平分BC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴AC⊥BC，

∴OD∥AE．

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD為⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵D是弧BC的中點，

∴ = ，

∴∠EAD=∠BAD，

∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，

∴DE=DG=4，

∵DO=5，

∴GO=3，

∴AG=8，

∴tan∠ADG= =2，

∵BF是⊙O的切線，

∴∠ABF=90°，

∴DG∥BF，

∴tan∠F=tan∠ADG=2．

【解析】（1）連接BC、OD，由D是弧BC的中點，由垂徑定理可得OD⊥BC；再直徑所對的圓周角為直角得到BC⊥AC，再證得OD⊥DE，即可得到DE是⊙O的切線；
（2）直接利用勾股定理得出GO的長，再利用切線判定得到BF是⊙O的切線得到DG∥BF，再用銳角三角函數關系得出tan∠F的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解垂徑定理的相關知識，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．