Question

【題目】在平面直角坐標系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數根，比如對于方程 ，操作步驟是：
第一步：根據方程系數特征，確定一對固定點A（0，1），B（5，2）;
第二步：在坐標平面中移動一個直角三角板，使一條直角邊恒過點A，另一條直角邊恒過點B；
第三步：在移動過程中，當三角板的直角頂點落在x軸上點C處時，點C 的橫坐標m即為該方程的一個實數根（如圖1）
第四步：調整三角板直角頂點的位置，當它落在x軸上另一點D處時，點D 的橫坐標為n即為該方程的另一個實數根。

（1）在圖2 中，按照“第四步“的操作方法作出點D（請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡）
（2）結合圖1，請證明“第三步”操作得到的m就是方程 的一個實數根；
（3）上述操作的關鍵是確定兩個固定點的位置，若要以此方法找到一元二次方程 的實數根，請你直接寫出一對固定點的坐標；
（4）實際上，（3）中的固定點有無數對，一般地,當 ， ， ， 與a，b，c之間滿足怎樣的關系時，點P（ ， ），Q（ ， ）就是符合要求的一對固定點？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖2所示：

（2）

證明：在圖1中，過點B作BD⊥x軸，交x軸于點D.

根據題意可證△AOC∽△CDB.

∴.

∴.

∴m（5-m）=2.

∴m2-5m+2=0.

∴m是方程x2-5x+2=0的實數根.

（3）

解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為

x2+x+=0.

模仿研究小組作法可得：A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等.

（4）

解：以圖3為例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,

設方程的根為x，根據三角形相似可得.=.

上式可化為x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.

又ax2+bx+c=0,

即x2+x+=0.

比較系數可得：m1+m2=-.

m1m2+n1n2=.

【解析】（1）根據題目中給的操作步驟操作即可得出圖2中的圖.
（2）在圖1中，過點B作BD⊥x軸，交x軸于點D.依題意可證△AOC∽△CDB.然后根據相似三角形對應邊的比相等列出式子，化簡后為m2-5m+2=0，從而得證。
（3）將方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為x2+x+=0.模仿研究小組作法即可得答案。
（4）以圖3為例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,設方程的根為x，根據三角形相似可得.=.化簡后為x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.
又x2+x+=0.再依據相對應的系數相等即可求出。
【考點精析】利用根與系數的關系和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．