Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以點A為圓心，AC為半徑，作⊙A交AB于點D，交CA的延長線于點E，過點E作AB的平行線EF交⊙A于點F，連接AF、BF、DF

（1）求證：BF是⊙A的切線．

（2）當∠CAB等于多少度時，四邊形ADFE為菱形？請給予證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當∠CAB=60°時，四邊形ADFE為菱形；證明見解析；

【解析】

分析（1）首先利用平行線的性質得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS證得兩三角形全等，得出對應角相等即可；

（2）當∠CAB=60°時，四邊形ADFE為菱形，根據∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，從而得到EF=AD=AE，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判斷四邊形ADFE是菱形．

（1）證明：∵EF∥AB

∴∠FAB=∠EFA，∠CAB=∠E

∵AE=AF

∴∠EFA =∠E

∴∠FAB=∠CAB

∵AC=AF，AB=AB

∴△ABC≌△ABF

∴∠AFB=∠ACB=90°， ∴BF是⊙A的切線.

（2）當∠CAB=60°時，四邊形ADFE為菱形.

理由：∵EF∥AB

∴∠E=∠CAB=60°

∵AE=AF

∴△AEF是等邊三角形

∴AE=EF，

∵AE=AD

∴EF=AD

∴四邊形ADFE是平行四邊形

∵AE=EF

∴平行四邊形ADFE為菱形.