Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，過點E的直線EF與AB的延長線交與點F，AC⊥EF，垂足為C，AE平分∠FAC．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）∠F=30°時，求的值？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】試題分析：（1）連接OE，根據角平分線的性質和等邊對等角可得出OE∥AC，則∠OEF=∠ACF，由AC⊥EF，則∠OEF=∠ACF=90°，從而得出OE⊥CF，即CF是⊙O的切線；

（2）由OE∥AC，則△OFE∽△AFC，根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方，從而得出的值．

試題解析：（1）連接OE，

∵AE平分∠FAC，

∴∠CAE=∠OAE，

又∵OA=OE，∠OEA=∠OAE，∠CAE=∠OEA，

∴OE∥AC，

∴∠OEF=∠ACF，

又∵AC⊥EF，

∴∠OEF=∠ACF=90°，

∴OE⊥CF，

又∵點E在⊙O上，

∴CF是⊙O的切線；

（2）∵∠OEF=90°，∠F=30°，

∴OF=2OE，

又OA=OE，

∴AF=3OE，

又∵OE∥AC，

∴△OFE∽△AFC，

∴，

∴，

∴