Question

【題目】如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結AO并延長交⊙O于點E，連結EC．若AB=8，CD=2，則EC的長為（ ）

A. 2 B. 8 C. 2 D. 2

Answer 1

【答案】D

【解析】連結BE，設⊙O的半徑為R，由OD⊥AB，根據垂徑定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，根據勾股定理得到（R-2）2+42=R2，解得R=5，則OC=3，由于OC為△ABE的中位線，則BE=2OC=6，再根據圓周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可計算出CE．

解：連結BE，設⊙O的半徑為R，如圖所示，

∵OD⊥AB，

∴AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，

∵OC2+AC2=OA2，

∴（R-2）2+42=R2，解得R=5，

∴OC=5-2=3，

∴BE=2OC=6，

∵AE為直徑，

∴∠ABE=90°，

在Rt△BCE中，．

考點: 1.垂徑定理；2.勾股定理；3.三角形中位線定理；4.圓周角定理．

“點睛”本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．