Question

【題目】在平面直角坐標系中，的半徑為，點與圓心不重合，給出如下定義：若在上存在一點，使，則稱點為的特征點．

（1）當的半徑為1時，如圖1．

①在點，，中，的特征點是__________．

②點在直線上，若點為的特征點，求的取值范圍．

（2）如圖2，的圓心在軸上，半徑為2，點，．若線段上的所有點都是的特征點，直接寫出圓心的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，；②；（2）．

【解析】

（1）①根據⊙O的特征點的定義，如果0＜OP≤2r（r為⊙O的半徑），則點P是⊙O的特征點；
②分兩種情形考慮問題：如圖1中，當b＞0時，設直線y=-x+b與1為半徑的⊙O相切于點C，與y軸交于點E，與x軸交于點F．解直角三角形求出OE即可，當b＜0時，根據對稱性可得結論；
（2）如圖中，取點K（2，0），連接BK．由題意滿足條件點C到點B的距離小于等于4且點C到點A的距離小于等于4（點A除外），由此即可解決問題；

（1）①由題意當0＜OP≤2r（r為⊙O的半徑），則點P是⊙O的特征點，
∵，

=2，

，
∴，是特征點，
故答案為：，；

②當時，設直線與以1為半徑的相切于點，與軸交于點，與軸交于點，

∴，，，

，

∴，

∵，

∴，

∴，

當時，由對稱性可知：，

∴的取值范圍是；

（2）如圖中，取點K（2，0），連接BK，

∵點A、B、K的坐標分別為(-2，0)，(0，2)，（2，0），

∴OA=2，OB=2，OK=2，

∴AB=，AK=AO+OK=4，

，

∴，

∴△ABK是邊長為4的等邊三角形，
∵線段AB上的所有點都是⊙C的特征點，
∴點C到點B的距離小于等于4且點C到點A的距離小于等于4（點A除外），
∴點C在線段AK上（點A除外），
∴滿足條件的m的值為．