Question

【題目】如圖，直角梯形ABCD中，AB//DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．動點M以每秒1個單位長的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿折線C﹣D﹣A向點A運動．當點M到達點B時，兩點同時停止運動．過點M作直線l//AD，與線段CD的交點為E，與折線A﹣C﹣B的交點為Q．點M運動的時間為t（秒）．

（1）當t=0.5時，求線段QM的長；
（2）當0＜t＜2時，如果以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，求t的值；
（3）當t＞2時，連接PQ交線段AC于點R．請探究 是否為定值，若是，試求這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點C作CF⊥AB于F，則四邊形AFCD為矩形．

∴CF=4，AF=2，

此時，Rt△AQM∽Rt△ACF，

∴ = ，

即 = ，

∴QM=1

（2）

解：∵∠DCA為銳角，故有兩種情況：

①當∠CPQ=90°時，點P與點E重合，

此時DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，在0＜t＜2內，

②當∠PQC=90°時，如備用圖1，

此時Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴ = ，

由（1）知，EQ=EM﹣QM=4﹣2t，

而PE=PC﹣CE=PC﹣（DC﹣DE）=t﹣（2﹣t）=2t﹣2，

∴ = ，

∴t= ，在0＜t＜2內；

綜上所述，t=1或

（3）

解： 為定值．

當t＞2時，如備用圖2，PA=DA﹣DP=4﹣（t﹣2）=6﹣t，

由（1）得，BF=AB﹣AF=4，

∴CF=BF，

∴∠CBF=45°，

∴QM=MB=6﹣t，

∴QM=PA，

∵AB//DC，∠DAB=90°，

∴四邊形AMQP為矩形，

∴PQ//AB，

∴△CRQ∽△CAB，

∴ = = = = ．

【解析】（1）過點C作CF⊥AB于F，則四邊形AFCD為矩形，易知CF=4，AF=2，利用平行線分線段成比例定理的推論可知Rt△AQM∽Rt△ACF，那么可得比例線段，從而求出QM；（2）由于∠DCA為銳角，故有兩種情況：
①當∠CPQ=90°時，點P與點E重合，可得DE+CP=CD，從而可求t；②當∠PQC=90°時，如備用圖1，容易證出Rt△PEQ∽Rt△QMA，再利用比例線段，結合EQ=EM﹣QM=4﹣2t，可求t；（3） 為定值．當t＞2時，如備用圖2，先證明四邊形AMQP為矩形，再利用平行線分線段成比例定理的推論可得△CRQ∽△CAB，再利用比例線段可求 ．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的應用，需要了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能得出正確答案．