Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于點Q，PQ=3，PE=1．
（1）求證：AD=BE；
（2）求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=CA=BC，∠BAE=∠ACD=60°；

在△ABE和△CAD中，

，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴AD=BE

（2）解：∵△ABE≌△CAD，

∴∠CAD=∠ABE，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；

∵BQ⊥AD，

∴∠AQB=90°，

∴∠PBQ=90°﹣60°=30°，

∵PQ=3，

∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6，

又∵PE=1，

∴AD=BE=BP+PE=6+1=7

【解析】（1）根據等邊三角形的三條邊都相等可得AB=CA，每一個角都是60°可得，∠BAE=∠ACD=60°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；（2）根據全等三角形對應角相等可得∠CAD=∠ABE，然后求出∠BPQ=60°，再根據直角三角形兩銳角互余求出∠PBQ=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BP=2PQ，再根據AD=BE=BP+PE代入數據進行計算即可得解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等邊三角形的性質(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)，還要掌握含30度角的直角三角形(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)的相關知識才是答題的關鍵．