Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+5與x軸交于點B，與y軸交于點D，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝﹣x+5交于B，D兩點，點C是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M是直線BD上方拋物線上的一個動點，其橫坐標為m，過點M作x軸的垂線，交直線BD于點P，當線段PM的長度最大時，求m的值及PM的最大值；

（3）在拋物線上是否存在異于B、D的點Q，使△BDQ中BD邊上的高為3，若存在求出點Q的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為：y＝﹣x2+4x+5；（2）當m＝時，PM有最大值；（3）存在滿足條件的點Q，其坐標為Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）．

【解析】

（1）y=-x+5，令x=0，則y=5，令y=0，則x=5，故點B、D的坐標分別為（5，0）、（0，5），利用待定系數法即可求解；
（2）由題意可得M點坐標為（m，﹣m2+4m+5），則則P點坐標為（m，﹣m+5），表示出PM的長度：PM=-m2+4m+5-（-m+5）=-m2+5m=-（m-）2+，利用二次函數的性質即可求解；
（3）過Q作QG∥y軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H，設出Q點坐標Q（x，﹣x2+4x+5），則G（x，﹣x+5），表示出QG的長度QG=|-x2+4x+5-（-x+5）|=|-x2+5x|，由條件可得△BOD是等腰直角三角形，，可證得△QHG為等腰直角三角形，則當△BDQ中BD邊上的高為3時，即QH=HG=3，QG=×3=6，|-x2+5x|=6，即可求解．

解：（1）y＝﹣x+5，令x＝0，則y＝5，令y＝0，則x＝5，

故點B、D的坐標分別為（5，0）、（0，5），

則二次函數表達式為：y＝﹣x2+bx+5，將點B坐標代入上式并解得：b＝4，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+4x+5；

（2）設M點橫坐標為m（m＞0），則P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5），

∴PM＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m-）2+，

∴當m＝時，PM有最大值；

（3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H，

設Q（x，﹣x2+4x+5），則G（x，﹣x+5），

∴QG＝|﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）|＝|﹣x2+5x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO＝45°，

∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，

∴△QHG是等腰直角三角形，

當△BDQ中BD邊上的高為3時，即QH＝HG＝3，

∴QG＝×3＝6，

∴|﹣x2+5x|＝6，

當﹣x2+5x＝6時，解得x＝2或x＝3，

∴Q（2，9）或（3，8），

當﹣x2+5x＝﹣6時，解得x＝﹣1或x＝6，

∴Q（﹣1，0）或（6，﹣7），

綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）．