Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2 +bx+ 4與x軸的兩個交點分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為D．E（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．

（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；

（2）在直線EF上求一點H，使△CDH的周長最小，并求出最小周長；

（3）若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，

△EFK的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】（1）頂點D的坐標為（－1，）

（2）H（，）

（3）K（－，）

【解析】

（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值，進而可用配方法求出其頂點D的坐標；
（2）根據拋物線的解析式可求出C點的坐標，由于CD是定長，若△CDH的周長最小，那么CH+DH的值最小，由于EF垂直平分線段BC，那么B、C關于直線EF對稱，所以BD與EF的交點即為所求的H點；易求得直線BC的解析式，關鍵是求出直線EF的解析式；由于E是BC的中點，根據B、C的坐標即可求出E點的坐標；可證△CEG∽△COB，根據相似三角形所得的比例線段即可求出CG、OG的長，由此可求出G點坐標，進而可用待定系數法求出直線EF的解析式，由此得解；
（3）過K作x軸的垂線，交直線EF于N；設出K點的橫坐標，根據拋物線和直線EF的解析式，即可表示出K、N的縱坐標，也就能得到KN的長，以KN為底，F、E橫坐標差的絕對值為高，可求出△KEF的面積，由此可得到關于△KEF的面積與K點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出其面積的最大值及對應的K點坐標.

（1）由題意，得解得，b=－1．

所以拋物線的解析式為，頂點D的坐標為（－1，）．

（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M．因為EF垂直平分BC，即C關于直線EG的對稱點為B，連結BD交于EF于一點，則這一點為所求點H，使DH+CH最小，即最小為

DH+CH=DH+HB=BD=．而．

∴△CDH的周長最小值為CD+DR+CH=．

設直線BD的解析式為y=k1x+b，則解得，b1= 3．

所以直線BD的解析式為y=x+ 3．

由于BC= 2，CE=BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，

得CE:CO=CG:CB，所以CG= 2.5，GO= 1.5．G（0，1.5）．

同理可求得直線EF的解析式為y=x+．

聯立直線BD與EF的方程，解得使△CDH的周長最小的點H（，）．

（3）設K（t，），xF＜t＜xE．過K作x軸的垂線交EF于N．

則KN=yK－yN=－（t+）=．

所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN（t+ 3）+KN（1－t）= 2KN= －t2－3t+ 5 =－（t+）2+．

即當t=－時，△EFK的面積最大，最大面積為，此時K（－，）．