Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、AB上的點，且CE=BF，連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG=DE，連接FG，FC．

（1）請判斷：FG與CE的數量關系和位置關系；（不要求證明）
（2）如圖2，若點E、F分別是CB、BA延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？請出判斷判斷予以證明；

（3）如圖3，若點E、F分別是BC、AB延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．

Answer 1

【答案】
（1）解：結論：FG=CE，FG∥CE．

理由：如圖1中，設DE與CF交于點M．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，

在△CBF和△DCE中，

，

∴△CBF≌△DCE，

∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，

∵∠BCF+∠DCM=90°，

∴∠CDE+∠DCM=90°，

∴∠CMD=90°，

∴CF⊥DE，

∵GE⊥DE，

∴EG∥CF，

∵EG=DE，CF=DE，

∴EG=CF，

∴四邊形EGFC是平行四邊形．

∴GF=EC，

∴GF=EC，GF∥EC．

（2）解：結論仍然成立．

理由：如圖2中，設DE與CF交于點M．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，

在△CBF和△DCE中，

，

∴△CBF≌△DCE，

∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，

∵∠BCF+∠DCM=90°，

∴∠CDE+∠DCM=90°，

∴∠CMD=90°，

∴CF⊥DE，

∵GE⊥DE，

∴EG∥CF，

∵EG=DE，CF=DE，

∴EG=CF，

∴四邊形EGFC是平行四邊形．

∴GF=EC，

∴GF=EC，GF∥EC．

（3）解：結論仍然成立．

理由：如圖3中，設DE與FC的延長線交于點M．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，

∴∠CBF=∠DCE=90°

在△CBF和△DCE中，

，

∴△CBF≌△DCE，

∴∠BCF=∠CDE，CF=DE

∵∠BCF+∠DCM=90°，

∴∠CDE+∠DCM=90°，

∴∠CMD=90°，

∴CF⊥DE，

∵GE⊥DE，

∴EG∥CF，

∵EG=DE，CF=DE，

∴EG=CF，

∴四邊形EGFC是平行四邊形．

∴GF=EC，

∴GF=EC，GF∥EC．

【解析】（1）結論：FG=CE，FG∥CE．如圖1中，設DE與CF交于點M，首先證明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再證明四邊形EGFC是平行四邊形即可．（2）結論仍然成立．如圖2中，設DE與CF交于點M，首先證明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再證明四邊形EGFC是平行四邊形即可．（3）結論仍然成立．如圖3中，設DE與FC的延長線交于點M，證明方法類似．