Question

【題目】如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，點F在AC的延長線上，且∠CBF= ∠CAB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∵AB=AC，

∴∠1= ∠CAB．

∵∠CBF= ∠CAB，

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直徑，

∴直線BF是⊙O的切線

（2）解：過點C作CG⊥AB于G．

∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF，

∴sin∠1= ，

∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，

∴BE=ABsin∠1= ，

∵AB=AC，∠AEB=90°，

∴BC=2BE=2 ，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= =2 ，

∴sin∠2= = = ，cos∠2= = = ，

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，

∴AG=3，

∵GC∥BF，

∴△AGC∽△ABF，

∴

∴BF= =

【解析】（1）出現直徑時，常作的輔助線為連接直徑的端點和圓上一點可構成90度圓周角；（2）通過“過點C作CG⊥AB”可轉化∠CBF為∠1，利用其正弦，由BE=ABsin∠1，求出BC=2BE=2 ,由勾股定理和△AGC∽△ABF可求出BF.
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)的相關知識才是答題的關鍵．