Question

【題目】如圖，以直角三角形AOC的直角頂點O為原點，以OC、OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系，點A（0，a），C（b，0）滿足．D為線段AC的中點．在平面直角坐標系中，以任意兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為，．

（1）則A點的坐標為　 　；點C的坐標為　 　．D點的坐標為　 　．

（2）已知坐標軸上有兩動點P、Q同時出發，P點從C點出發沿x軸負方向以1個單位長度每秒的速度勻速移動，Q點從O點出發以2個單位長度每秒的速度沿y軸正方向移動，點Q到達A點整個運動隨之結束．設運動時間為t（t＞0）秒．問：是否存在這樣的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

（3）點F是線段AC上一點，滿足∠FOC＝∠FCO，點G是第二象限中一點，連OG，使得∠AOG＝∠AOF．點E是線段OA上一動點，連CE交OF于點H，當點E在線段OA上運動的過程中，的值是否會發生變化？若不變，請求出它的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0，4），（2，0），（1，2）；（2）存在，t＝1；（3）的值不變，其值為2．

【解析】

（1）根據絕對值和算術平方根的非負性，求得a，b的值，再利用中點坐標公式即可得出答案；

（2）先得出CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，再根據S△ODP＝S△ODQ，列出關于t的方程，求得t的值即可；

（3）過H點作AC的平行線，交x軸于P，先判定OG∥AC，再根據角的和差關系以及平行線的性質，得出∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，最后代入進行計算即可．

解：（1）∵．

∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，

解得a＝4，b＝2，

∴A（0，4），C（2，0）；

∴x＝＝1，y＝＝2，

∴D（1，2）．

故答案為（0，4），（2，0），（1，2）．

（2）如圖1中，

由條件可知：P點從C點運動到O點時間為2秒，Q點從O點運動到A點時間為2秒，

∴0＜t≤2時，點Q在線段AO上，

即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，

∴S△DOP＝OPyD＝（2﹣t）×2＝2﹣t，S△DOQ＝OQxD＝×2t×1＝t，

∵S△ODP＝S△ODQ，

∴2﹣t＝t，

∴t＝1；

（3）的值不變，其值為2．理由如下：如圖2中，

∵∠2+∠3＝90°，

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，

∴∠GOC+∠ACO＝180°，

∴OG∥AC，

∴∠1＝∠CAO，

∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，

如圖，過H點作AC的平行線，交x軸于P，則∠4＝∠PHC，PH∥OG，

∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，

∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，

∴＝，

＝，

＝2．