Question

【題目】已知二次函數＞0）的對稱軸與x軸交于點B，與直線l：交于點C，點A是該二次函數圖像與直線l在第二象限的交點，點D是拋物線的頂點，已知AC∶CO＝1∶2，∠DOB＝45°，△ACD的面積為2．

(1) 求拋物線的函數關系式；

(2) 若點P為拋物線對稱軸上的一個點，且∠POC＝45°，求點P坐標.

Answer 1

【答案】（1）；(2) P1(－4，12) )， P2(－4，)

【解析】試題分析：（1）把拋物線解析式化為頂點式，可得對稱軸為直線 x＝－2m，得到C的坐標，由∠DOB＝45°，得到BD=BO=2m，即可得到頂點D坐標．過A作AE⊥x軸于E，可求出A的坐標，由△ACD的面積為2，得到m=2，進一步求得頂點D的坐標，從而得到拋物線的解析式；

(2)過P作PM⊥OA于M，則有PM=OM，由直線OA的解析式為：，設M（n，），得到直線PM的解析式，進而得到P的坐標，因為PM=OM，由兩點間的距離公式列方程，求出n的值，即可得到P的坐標．

試題解析：解：（1） ，∴對稱軸為直線 x＝－2m，∴OB=2m，C(－2m，m)．∵∠DOB＝45°，∴BD=BO=2m，∴則頂點D（－2m，2m）．過A作AE⊥x軸于E．∵AC：CO＝1：2，∴EB：OB=1：2．∵OB=2m，∴EB=m，∴OE=3m，∴A（－3m，）．∵△ACD的面積為2，∴m·m＝2，解得：m＝±2 ．∵m＞0，∴m=2，∴ D（－4，4），∴，解得：a＝，∴．

(2) 如圖，過P作PM⊥OA于M．∵∠POC=45°，∴PM=OM．∵直線OA的解析式為：，設M（n，），∴直線PM為，即：，當x=-4時，，∴P（-4，）．∵PM=OM，∴，解得：n=－8或n=，當n=－8時，=12，當n=時，=，∴P(－4，12) )或P(－4，) ．