Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC、BD是它的對角線，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD是銳角．

（1）若BD=BC，證明：sin∠BCD=．

（2）若AB=BC=4，AD+CD=6，求的值．

（3）若BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．

（注：本題可根據需要自己畫圖并解答）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】分析：

（1）如圖1，過點B作BE⊥AD交AD的延長線于點E，由已知條件易得點A、B、C、D四點共圓，由此可得∠EAB=∠BCD，∠EDB=∠BCA，結合∠DEB=∠ABC=90°，可得△BED∽△ABC，從而可得sin∠BCD=sin∠EAB=，結合BD=BC即可得到所求結論；

（2）如圖2中，過點B作BF⊥BD交DC的延長線于F．由已知條件通過證△DAB≌△CBF得到BD=BF，AD=CF，從而可得△DBF是等腰直角三角形，由此可得BD=DF，結合DF=DC+CF=DC+AD=6即可求得BD的長，在Rt△ABC中求得AC的長即可求得的值；

（3）當BD=CD時，如圖3中，過點B作MN∥DC，過點C作CN⊥MN，垂足為N，延長DA交MN于點M，易得四邊形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，從而可得，設AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，則易得BD=10x，由BD=DC=MN=MB+BN可得10x=6x+8y，則x=2y，由此在Rt△ABM中，可得AB==6y，結合（1）中所得∠BCD=∠MAB即可由sin∠MAB=求得sin∠BCD的值了.

詳解：

（1）如圖1中，過點B作AD的垂線BE交DA的延長線于點E，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠ADC+∠ABC=180°，

∴點A、B、C、D四點共圓，

∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，

∵∠BED=∠ABC=90°，

∴△BED∽△ABC，

∴ ，

∵ ∠EAB=∠BCD，sin∠EAB=,

∴sin∠BCD=；

（2）如圖2中，過點B作BF⊥BD交DC的延長線于F．

∵∠ABC=∠DBF=90°，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF，

∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，

∴△DAB≌△CBF，

∴BD=BF，AD=CF，

∵∠DBF=90°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴BD=DF，

∵AD+CD=6，

∴CF+CD=DF=6，

∴BD=3，AC=，

∴．

（3）當BD=CD時，如圖3中，過點B作MN∥DC，過點C作CN⊥MN，垂足為N，延長DA交MN于點M，則四邊形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，

∴，

設AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，

在Rt△BDM中，BD==10x，

∵BD=DC，

∴10x=6x+8y，

∴x=2y，

在Rt△ABM中，AB==6y，

∴sin∠BCD=sin∠MAB=．