Question

【題目】如圖，已知拋物線經過原點O和x軸上另一點A，它的對稱軸x=2與x軸交于點C，直線y=﹣2x﹣1經過拋物線上一點B（﹣2，m），且與y軸、直線x=2分別交于點D、E．

（1）求m的值及該拋物線對應的函數關系式；

（2）求證：①CB=CE；②D是BE的中點；

（3）若P（x，y）是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P，使得PB=PE？若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x；（2）①證明見解析；②證明見解析；（3）P的坐標為（3+， ）或（3﹣， ）．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法，設拋物線的解析式，由題意可知函數過（0,0）,A(0,4)，

B（-2,3），解方程組.

(2) ①過點E作EH∥x軸，交y軸于H，利用勾股定理求CB的長度，求直線BE與對稱軸的交點，得到 CE.

②過點E作EH∥x軸，交y軸于H，證明DFB≌△DHE（SAS）, ∴BD=DE，即D是BE的中點.

(3)BE垂直平分線上的點，到B,E距離相等，所以直線CD與拋物線的交點，就是P點.

試題解析：

（1）解：∵點B（﹣2，m）在直線y=﹣2x﹣1上，∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=3，∴B（﹣2，3），

∵拋物線經過原點O和點A，對稱軸為x=2，

∴點A的坐標為（4，0），設所求的拋物線對應函數關系式為y=a（x﹣0）（x﹣4），將點B（﹣2，3）代入上式，得3=a（﹣2﹣0）（﹣2﹣4），

∴a=，∴所求的拋物線對應的函數關系式為y=x（x﹣4），即y=x2﹣x；

（2）證明：①直線y=﹣2x﹣1與y軸、直線x=2的交點坐標分別為D（0，﹣1），E（2，﹣5），過點B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x=2交于G，

則BG⊥直線x=2，BG=4,

在Rt△BGC中， ，∵CE=5，

∴CB=CE=5．

②過點E作EH∥x軸，交y軸于H，則點H的坐標為,

H（0，﹣5），又點F、D的坐標為F（0，3）、D（0，﹣1），

∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°，

∴△DFB≌△DHE（SAS），∴BD=DE，即D是BE的中點；

（3）解：存在．由于PB=PE，∴點P在直線CD上，

∴符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點，設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b，將D（0，﹣1），C（2，0）代入，得，解得k=，b=﹣1，

∴直線CD對應的函數關系式為y=x﹣1，

∵動點P的坐標為（x， x2﹣x），

∴x﹣1=x2﹣x，解得x1=3+，x2=3﹣．

∴y1=，y2=，

∴符合條件的點P的坐標為（3+， ）或（3﹣， ）．