Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是兩條對角線的交點，過點O作AC的垂線分別交邊AD，BC于點E，F；點M是邊AB的一個三等分點，則△AOE與△BMF的面積比為______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

設AB=AC=m，根據平行四邊形的性質可得OA=OC=AC=m，繼而根據已知解三角形求得FC=m，通過證明△AOE≌△COF，求得AE=FC=m，從而求得S△AOE=m2，作AN⊥BC于N，求得BC=m，繼而求得BF=BC﹣FC=m﹣m=m，然后作MH⊥BC于H，分點M為靠近點B的三等分點和靠近點A的三等分點兩種情況求出S△BMF的值即可求得答案.

設AB=AC=m，

∵O是兩條對角線的交點，∴OA=OC=AC=m，

∵∠B=30°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=30°，

∵EF⊥AC，∴cos∠ACB= ，即cos30°=，∴FC=m，

∵AE∥FC，∴∠EAC=∠FCA，又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=FC=m，

∴OE=AE=m，∴S△AOE=OAOE=×m×m=m2，

作AN⊥BC于N，

∵AB=AC，∴BN=CN=BC，∵BN=AB=m，∴BC=m，

∴BF=BC﹣FC=m﹣m=m，

作MH⊥BC于H，如圖1（點M為靠近點B的AB的三等分點），則BM=m，

∵∠B=30°，∴MH=BM=m，∴S△BMF=BFMH=×m×m=m2，

∴ ，

如圖2（點M為靠近點A的AB的三等分點），則BM=m，

∵∠B=30°，∴MH=BM=m，∴S△BMF=BFMH=×m×m=m2，

∴ ，

故答案為：或.