Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）點F是拋物線上的動點，當∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標；

（3）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在平面內，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1），D（2，8）；（2）F（﹣1，）或（﹣3，）；（3）Q（2，）或（2，）．

【解析】（1）將點B（6，0）、C（0，6）代入中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為．

∵=，∴點D的坐標為（2，8）．

（2）設線段BF與y軸交點為點F′，設點F′的坐標為（0，m），如圖1所示．

∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，∴△F′BO∽△BDE，∴．

∵點B（6，0），點D（2，8），∴點E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，∴OF′=OB=3，∴點F′（0，3）或（0，﹣3）．

設直線BF的解析式為y=kx±3，則有0=6k+3或0=6k﹣3，解得：k=﹣或k=，∴直線BF的解析式為或．聯立直線BF與拋物線的解析式得：①或②，解方程組①得：或（舍去），∴點F的坐標為（﹣1，）；

解方程組②得：或（舍去），span>∴點F的坐標為（﹣3，）．

綜上可知：點F的坐標為（﹣1，）或（﹣3，）．

（3）設對角線MN、PQ交于點O′，如圖2所示．

∵點M、N關于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形，∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線對稱軸上，設點Q的坐標為（2，2n），則點M的坐標為（2﹣n，n）．

∵點M在拋物線的圖象上，∴，即，解得：=，=，∴點Q的坐標為（2，）或（2，）．