Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°．

（1）用圓規(guī)和直尺在AC上作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）

（2）當(dāng)滿(mǎn)足（1）的點(diǎn)P到AB、BC的距離相等時(shí)，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）圖形見(jiàn)解析（2）30°

【解析】試題分析：（1）畫(huà)出線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；
（2）由點(diǎn)P到AB、BC的距離相等可得出PC=PD，結(jié)合BP=BP可證出Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出BC=BD，結(jié)合AB=2BD及∠C=90°，即可求出∠A的度數(shù)．

試題解析：

（1）依照題意，畫(huà)出圖形，如圖所示．

（2）∵點(diǎn)P到AB、BC的距離相等，

∴PC=PD．

在Rt△BCP和Rt△BDP中，

，

∴Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），

∴BC=BD．

又∵PD垂直平分AB，

∴AD=2BD=2BC．

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，

∴∠A=30°．