Question

【題目】如圖，將邊長為6的正方形紙片ABCD對折，使AB與DC重合，折痕為EF，展平后，再將點B折到邊CD上，使邊AB經過點E，折痕為GH，點B的對應點為M，點A的對應點為N．

（1）若CM=x，則CH= （用含x的代數式表示）；

（2）求折痕GH的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用翻折變換的性質結合勾股定理表示出CH的長即可；

（2）首先得出△EDM∽△MCH，進而求出MC的長，再利用△NEG∽△DEM，求出NG的長，再利用勾股定理得出GH的長．

試題解析：（1）∵CM=x，BC=6，∴設HC=y，則BH=HM=6﹣y，故，整理得：，故答案為：；

（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，設CM=x，由題意可得：ED=3，DM=6﹣x，∠EMH=∠B=90°，故∠HMC+∠EMD=90°，∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴，即，解得：=2，=6（不合題意舍去），∴CM=2，∴DM=4，∴在Rt△DEC中，由勾股定理得：EM=5，∴NE=MN﹣EM=6﹣5=1，∵∠NEG=∠DEM，∠N=∠D，∴△NEG∽△DEM，∴，∴，解得：NG=，由翻折變換的性質，得AG=NG=，過點G作GP⊥BC，垂足為P，則BP=AG=，GP=AB=6，當x=2時，CH=，∴PH=BC﹣HC﹣BP==2，在Rt△GPH中，GH===．