Question

【題目】已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．

問題發現

如圖，若四邊形ABCD是矩形，且于G，，填空：______；當矩形ABCD是正方形時，______；

拓展探究

如圖，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當與滿足什么關系時，成立？并證明你的結論；

解決問題

如圖，若于G，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）①，②1；（2）當+=180°時，成立，理由見解析；（3）.

【解析】

（1）根據矩形的性質先一步證明△AED~△DFC，然后進一步利用相似三角形性質求解即可；

（2）在AD的延長線上取一點M，使得CM=CF，則∠CMD=∠CFM，通過證明△ADE~△DCM進一步求解即可；

（3）過C點作CN⊥AD于N點，CM⊥AB交AB延長線于M點，連接BD，先證明△BAD≌△BCD，然后進一步證明△BCM~△DCN，再結合勾股定理求出CN，最終通過證明△AED~△NFC進一步求解即可.

（1）∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠A=∠FDC=90°，AB=CD，

∵CF⊥DE，

∴∠DGF=90°，

∴∠ADE+∠CFD=90°，

∠ADE+∠AED=90°，

∴∠CFD=∠AED，

∵∠A=∠CDF，

∴△AED~△DFC，

∴，

∴①，②若四邊形ABCD為正方形，，

故答案為：①，②1；

（2）當+=180°時，成立，理由如下：

如圖，在AD的延長線上取一點M，使得CM=CF，則∠CMD=∠CFM，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠A=∠CDM，

∵∠B+∠EGC=180°，

∴∠BEG+∠FCB=180°，

∵∠BEG+∠AED=180°，

∴∠AED=∠FCB，

∵AD∥BC，

∴∠CFM=∠FCB，

∴∠CMD=∠AED，

∴△ADE~△DCM，

∴，

即：；

（3），理由如下：

過C點作CN⊥AD于N點，CM⊥AB交AB延長線于M點，連接BD，設CN=x，

∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，

∴∠A=∠M=∠CAN=90°，

∴四邊形AMCN為矩形，

∴AM=CN，AN=CM，

在△BAD與△BCD中，

∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，

∴△BAD≌△BCD（SSS），

∴∠BCD=∠A=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ABC+∠CBM=180°，

∴∠MBC=∠ADC，

∵∠CND=∠M=90°，

∴△BCM~△DCN，

∴，

∴，

∴，

在Rt△CMB中，，BM=AMAB=，

由勾股定理可得：，

∴，

解得：（舍去）或，

∴，

∵∠A=∠FGD=90°，

∴∠AED+∠AFG=180°，

∵∠AFG+∠NFC=180°，

∴∠AED=∠CFN，

∵∠A=∠CNF，

∴△AED~△NFC，

∴.