Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c的開口向下，與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B（0，2），過點(diǎn)B作BC⊥AB交拋物線于點(diǎn)C，連接AC，且∠BAC=∠BAO．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△AOB中，由勾股定理，得

AB= =2 ．

∵BC⊥AB，

∴∠ABC=∠AOB=90°，

∵∠CAB=∠BAO，

∴△CAB∽△BAO，

= ，即 = ，

BC=

（2）解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），由勾股定理，

AC= =5．

AC2=25，BC2=5，

即 ，

解得m=﹣1，m=1（舍），n=4，

即C點(diǎn)坐標(biāo)（﹣1，4）．

將A，B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，

解得 ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+2

【解析】（1）根據(jù)勾股定理，可得AB的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得兩個(gè)方程，根據(jù)解方程，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．