Question

【題目】如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點C，BD平分∠ABF，且交AE于點D，AC與BD相交于點O，連接CD

（1）求∠AOD的度數；

（2）求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先根據角平分線的性質得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根據平行線的性質得到∠DAB+∠CBA=180°，從而得到∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；

（2）根據平行線的性質得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根據角平分線定義得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根據等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根據平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出答案．

試題解析：（1）∵AC、BD分別是∠BAD、∠ABC的平分線，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA=180°，∴∠BAC+∠ABD=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠AOD=90°；

（2）證明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，∵AC、BD分別是∠BAD、∠ABC的平分線，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD

∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD=AB，∴四邊形ABCD是菱形．