Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角∠NDM，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN．試探究BM、MN、CN之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】BM+CN=NM，證明見解析

【解析】試題分析：延長AC至E，使CE=BM，連接DE，將BM，CN放在一條直線上，利用已知證明△DCE≌△BMD，再證出△DMN≌△DEN，從而得出答案．

試題解析：探究結論：BM+CN=NM．

證明：延長AC至E，使CE=BM，連接DE，

∵△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等邊三角形，

∴∠BCD=30°，

∴∠ABD=∠ACD=90°，

即∠ABD=∠DCE=90°，

∴在Rt△DCE和Rt△DBM中，

∵BD=CD，BM=EC

∴Rt△DCE≌Rt△DBM（HL），

∴∠BDM=∠CDE，

又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，

∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，

∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，

∴∠MDN=∠NDE=60°

∴DM=DE（上面已經全等）

在△DMN和△DEN中

∵DM=DE，∠MDN=∠NDE，DN=DN

∴△DMN≌△DEN（SAS），

∴NM=EN

即NM=CE+CN

∴BM+CN=NM．