Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．

填空：①∠AEB的度數為 ；②線段AD，BE之間的數量關系為 ．

（2）拓展探究

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①∠AEB=60°；②AD=BE；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，

【解析】

試題分析：（1）易證∠ACD=∠BCE，即可求證△ACD≌△BCE，根據全等三角形對應邊相等可求得AD=BE，根據全等三角形對應角相等即可求得∠AEB的大小；

（2）易證△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，進而可以求得∠AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解題．

解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，

∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°；

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，

理由：如圖2，

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，

∵點A、D、E在同一直線上，

∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，

∴DM=ME=CM，

∴AE=AD+DE=BE+2CM．