Question

【題目】如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D，交y軸于點E，連接AB、AE、BE．已知tan∠CBE= ，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．

（1）求拋物線的解析式及頂點B的坐標；
（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；
（3）試探究坐標軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）設△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數關系式，并指出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，設拋物線解析式為y=a（x﹣3）（x+1）．

將E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．

∴y=﹣x2+2x+3．

則點B（1，4）

（2）證明：如圖1，過點B作BM⊥y于點M，則M（0，4）．

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE= =3 ．

在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE= = ．

∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．

∴AB是△ABE外接圓的直徑．

在Rt△ABE中，tan∠BAE= = =tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圓的切線．

（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，sin∠BAE= ，cos∠BAE= ；

若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則△DEP必為直角三角形；

①DE為斜邊時，P1在x軸上，此時P1與O重合；

由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO= =tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE

滿足△DEO∽△BAE的條件，因此 O點是符合條件的P1點，坐標為（0，0）．

②DE為短直角邊時，P2在x軸上；

若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE= ；

而DE= = ，則DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10，OP2=DP2﹣OD=9

即：P2（9，0）；

③DE為長直角邊時，點P3在y軸上；

若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE= ；

則EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ = ，OP3=EP3﹣OE= ；

綜上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣ ）

（4）解：設直線AB的解析式為y=kx+b．

將A（3，0），B（1，4）代入，得 ，解得 ．

∴y=﹣2x+6．

過點E作射線EF∥x軸交AB于點F，當y=3時，得x= ，∴F（ ，3）．

情況一：如圖2，當0＜t≤ 時，設△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于點H，MN交AE于點S．

則ON=AG=t，過點H作LK⊥x軸于點K，交EF于點L．

由△AHG∽△FHM，得 ，即 ．

解得HK=2t．

∴S陰=S△MNG﹣S△SNA﹣S△HAG= ×3×3﹣ （3﹣t）2﹣ t2t=﹣ t2+3t．

情況二：如圖3，當 ＜t≤3時，設△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于點I，交AE于點V．

由△IQA∽△IPF，得 ．即 ，

解得IQ=2（3﹣t）．

∵AQ=VQ=3﹣t，

∴S陰= IVAQ= （3﹣t）2= t2﹣3t+ ．

綜上所述：s= ．

【解析】（1）已知A、D、E三點的坐標，利用待定系數法可確定拋物線的解析式，進而能得到頂點B的坐標．（2）過B作BM⊥y軸于M，由A、B、E三點坐標，可判斷出△BME、△AOE都為等腰直角三角形，易證得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圓的直徑，因此只需證明AB與CB垂直即可．BE、AE長易得，能求出tan∠BAE的值，結合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此證得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此題得證．（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，即AE=3BE，若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，那么該三角形必須滿足兩個條件：①有一個角是直角、②兩直角邊滿足1：3的比例關系；然后分情況進行求解即可．（4）過E作EF∥x軸交AB于F，當E點運動在EF之間時，△AOE與△AE重疊部分是個四邊形；當E點運動到F點右側時，△AOE與△ABE重疊部分是個三角形．按上述兩種情況按圖形之間的和差關系進行求解．