Question

【題目】在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點，現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖）．

（1）旋轉過程中，當MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉的角度；
（2）試證明旋轉過程中，△MNO的邊MN上的高為定值；
（3）折△MBN的周長為p，在旋轉過程中，p值是否發生變化？若發生變化，說明理由；若不發生變化，請給予證明，并求出p的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

∵四邊形OABC是正方形，

∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°

∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，

∴∠BMN=∠BNM．

∴BM=BN，

∴AM=CN．

在△OAM與△OCN中，

∴△OAM≌△OCN（SAS），

∴∠AOM=∠CON，

∴∠AOM=∠CON=22.50，

∴MN∥AC時，旋轉角為22.50．

（2）

解：證明：如圖2中，

過點O作OF⊥MN于F，延長BA交y軸與E點，則∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM．

∴∠AOE=∠CON．

在△OAE與△OCN中，

∴△OAE≌△OCN（ASA），

∴OE=ON，AE=CN．

在△OME與△OMN中，

∴△OME≌△OMN（SAS），

∴∠OME=∠OMN．

∵MA⊥OA，MF⊥OF．

∴OA=OF=2，

∴在旋轉過程中，高為定值．

（3）

解：旋轉過程中，p值不變化．

理由：∵△OME≌△OMN，

∴ME=MN，

∵AE=CN，

∴MN=ME﹣AM+AE=AM+CN．

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+AC=4．

∴△MBN的周長p為定值．

【解析】（1）只要證明△AOM≌△CON，推出∠AOM=∠CON=22.5°即可解決問題．（2）如圖2中，過點O作OF⊥MN于F，延長BA交y軸與E點，則∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM．先證明△OAE≌△OCN（ASA），再證明△OME≌△OMN（SAS），推出∠OME=∠OMN，利用角平分線性質定理即可解決問題．（3）由（2）可知，MN=AM+CN，可以推出△BMN的周長為BA+BC是定值．
【考點精析】本題主要考查了圖形的旋轉的相關知識點，需要掌握每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．旋轉的方向、角度、旋轉中心是它的三要素才能正確解答此題．