Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，過點O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，過點O作OD⊥BC于D，下列四個結論：
①∠AOB=90°+ ∠C；
②AE+BF=EF；
③當∠C=90°時，E，F分別是AC，BC的中點；
④若OD=a，CE+CF=2b，則S△CEF=ab．
其中正確的是（ ）

A.①②
B.③④
C.①②④
D.①③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，
∴∠OBA= ∠CBA，∠OAB= ∠CAB，
∴∠AOB=180°﹣∠OBA﹣∠OAB
=180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB
=180°﹣ （180°﹣∠C）
=90°+ ∠C，①正確；
∵EF∥AB，
∴∠FOB=∠ABO，又∠ABO=∠FBO，
∴∠FOB=∠FBO，
∴FO=FB，
同理EO=EA，
∴AE+BF=EF，②正確；
當∠C=90°時，AE+BF=EF＜CF+CE，
∴E，F分別是AC，BC的中點，③錯誤；
作OH⊥AC于H，
∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，
∴點O在∠C的平分線上，
∴OD=OH，
∴S△CEF= ×CF×OD ×CE×OH=ab，④正確．
故選：C．

【考點精析】本題主要考查了平行線的性質和角平分線的性質定理的相關知識點，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上才能正確解答此題．