Question

【題目】閱讀下面材料，完成（1）﹣（3）題

數學課上，老師出示了這樣一道題：如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，AB=AD，E為對角線AC上一點，∠BEC=∠BAD=2∠DEC，探究AB與BC的數量關系．

某學習小組的同學經過思考，交流了自己的想法：

小柏：“通過觀察和度量，發現∠ACB=∠ABE”；

小源：“通過觀察和度量，AE和BE存在一定的數量關系”；

小亮：“通過構造三角形全等，再經過進一步推理，就可以得到線段AB與BC的數量關系”．

……

老師：“保留原題條件，如圖2， AC上存在點F，使DF=CF=AE，連接DF并延長交BC于點G，求的值”．

（1）求證：∠ACB=∠ABE；

（2）探究線段AB與BC的數量關系，并證明；

（3）若DF=CF=AE，求的值（用含k的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CB=2AB；（3）

【解析】

（1）利用平行線的性質以及角的等量代換求證即可；

（2）在BE邊上取點H，使BH=AE，可證明△ABH≌△DAE，△ABE∽△ACB，利用相似三角形的性質從而得出結論；

（3）連接BD交AC于點Q，過點A作AK⊥BD于點K，得出，通過證明△ADK∽△DBC得出∠BDC=∠AKD=90°，再證DF=FQ，設AD=a，因此有DF=FC=QF=ka，再利用相似三角形的性質得出AC=3ka，，，從而得出答案．

解：（1）∵∠BAD=∠BEC

∠BAD=∠BAE+∠EAD

∠BEC=∠ABE+BAE

∴∠EAD=∠ABE

∵AD∥BC

∴∠EAD=∠ACB

∴∠ACB=∠ABE

（2）在BE邊上取點H，使BH=AE

∵AB=AD

∴△ABH≌△DAE

∴∠AHB=∠AED

∵∠AHB+∠AHE=180°

∠AED+∠DEC=180°

∴∠AHE=∠DEC

∵∠BEC=2∠DEC

∠BEC=∠HAE+∠AHE

∴∠AHE=∠HAE

∴AE=EH

∴BE=2AE

∵∠ABE=∠ACB

∠BAE=∠CAB

∴△ABE∽△ACB

∴

∴CB=2AB；

（3）連接BD交AC于點Q，過點A作AK⊥BD于點K

∵AD=AB

∴

∠AKD=90°

∵

∴

∵AD∥BC

∴∠ADK=∠DBC

∴△ADK∽△DBC

∴∠BDC=∠AKD=90°

∵DF=FC

∴∠FDC=∠DFC

∵∠BDC=90°

∴∠FDC+∠QDF=90°

∠DQF+∠DCF=90°

∴DF=FQ

設AD=a

∴DF=FC=QF=ka

∵AD∥BC

∴∠DAQ=∠QCB

∠ADQ=∠QBC

∴△AQD∽△CQB

∴

∴AQ=ka=QF=CF

∴AC=3ka

∵△ABE∽△ACB

∴

∴

同理△AFD∽△CFG

∴

．