Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線試紙y=ax2+bx+c與x軸交于點A,C，與y軸交于點B.已知點A坐標為(8，0)，點B為(0，8)，點D為（0，3），tan∠DCO=，直線AB和直線CD相交于點E.

⑴ 求拋物線的解析式，并化成y=a(x-m)2+h的形式；

⑵ 設拋物線的頂點為G，請在直線AB上方的拋物線上求點P的坐標，使得S△ABP=S△ABG.

⑶ 點M為直線AB上的一點，過點M作x軸的平行線分別交直線AB，CD于點M，N，連結DM，DN，是否存在點M，使得△DMN為等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）M（20，-12）或M（， ）， M（-， ）

【解析】試題分析：（1）在Rt△DOC中，由正切可得點C坐標，設拋物線的解析式為，把點B坐標代入，得a的值，即可得拋物線解析式，再化為頂點式即可；

（2）設出P坐標，過點P作PF∥y軸交直線AB于F，由AB點坐標可得出直線AB的解析式，

由此得PF ,過點G作GH∥y軸交直線AB于H，得GH=3，由PF= GH=3，解得x值，即可求得點P坐標；

（3）分兩種情況：①當DM=DN時；②DN=MN時，求得M的值即可.

試題解析：（1）在Rt△DOC中，∵ ，即，

∴OC=4 ，

∴C(-4，0)，

設，把點B（0,8）代入，得，

∴或，

，

（2）設P（x， ），過點P作PF∥y軸交直線AB于F，

∵ A（8,0），B（0,8）

∴

∴F（x,-x+8）

∴PF=，

過點G作GH∥y軸交直線AB于H，則G（2,9），H（2,6）

∴GH=3，

∵PF= GH=3，

∴=3，

解得（舍去）

∴P（6,5）；

（3）第1種情況：

當DM=DN時，M（20，-12），

設M（m，-m+8），則N（-m， ），

∵MN∥x軸，

∴ -m+8= ，

∴m=20，

第2種情況：

當DN=MN時，M M，

設M（m，-m+8），則N（，-m+8），

∴ ， ，

∴，

∴或.