Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊AD與矩形EFGH的邊FG重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移動，移動開始前點A與點F重合，在移動過程中，邊AD始終與邊FG重合，連接CG，過點A作CG的平行線交線段GH于點P，連接PD．已知正方形ABCD的邊長為1cm，矩形EFGH的邊FG，GH的長分別為4cm，3cm，設正方形移動時間為x（s），線段GP的長為y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）試求出y關于x的函數關系式，并求當y=3時相應x的值；
（2）記△DGP的面積為S1 ， △CDG的面積為S2 ． 試說明S1﹣S2是常數；
（3）當線段PD所在直線與正方形ABCD的對角線AC垂直時，求線段PD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵CG∥AP，

∴∠CGD=∠GAP，

又∵∠CDG=∠AGP，

∴△GCD∽△APG，

∴ ，

∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，

∴GD=3﹣x，AG=4﹣x，

∴ = ，即y= ，

∴y關于x的函數關系式為y= ，

當y=3時， =3，解得x=2.5，

經檢驗的x=2.5是分式方程的根．

故x的值為2.5

（2）解：∵S1= GPGD= （3﹣x）= （cm2），

S2= GDCD= （3﹣x）×1= （cm2），

∴S1﹣S2= ﹣ = （cm2），即為常數

（3）解：延長PD交AC于點Q．

∵正方形ABCD中，AC為對角線，

∴∠CAD=45°，

∵PQ⊥AC，

∴∠ADQ=45°，

∴∠GDP=∠ADQ=45°．

∴△DGP是等腰直角三角形，則GD=GP，

∴3﹣x= ，

化簡得：x2﹣5x+5=0．

解得：x= ，

∵0≤x≤2.5，

∴x= ，

在Rt△DGP中，PD= = （3﹣x）= （cm）

【解析】（1）根據題意表示出AG、GD的長度，再由△GCD∽△APG，利用對應邊成比例可解出x的值．（2）利用（1）得出的y與x的關系式表示出S1、S ， 然后作差即可．（3）延長PD交AC于點Q，然后判斷△DGP是等腰直角三角形，從而結合x的范圍得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的長度．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形和矩形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．