Question

【題目】（1）如圖，已知△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，求證：DE∥BC，DE=BC．

（2）利用第（1）題的結論，解決下列問題：

①如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、CD的中點，求證：EF∥BC，FE=（AD+BC）

②如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，點M，N分別在邊AB，BC上，點E，F分別為MN，DN的中點，連接EF，求EF長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析，②3

【解析】

（1）延長DE到點F，使得EF=DE，連接CF，證明四邊形BCFD是平行四邊形即得；

（2）①連接AF，并延長AF交BC延長線于點M，先證明，進而得出，再根據（1）的結論即得；

②連接DM，根據（1）的結論得出EF=DM，進而得出當DM最大時，EF最大，再根據勾股定理求出DM的值，進而得出EF的值．

（1）如下圖，延長DE到點F，使得EF=DE，連接CF，

∵D、E分別是AB、AC的中點

∴，AD=BD

在和中

∴

∴∠A=∠ECF，AD=CF

∴CF∥AB

又∵AD=BD

∴CF=BD

∴四邊形BCFD是平行四邊形

∴DF=BC，DE∥BC

∵EF=DE

∴DE=DF=BC

∴DE∥BC，DE=BC

（2）①連接AF，并延長AF交BC延長線于點M

∵AD∥BC

∴

∵F分別是CD的中點

∴DF=FC

∵

∴

∴

∴BM=AD+BC

∵E、F分別是AB、CD的中點

∴EF∥BC，FE=BM

∴EF∥BC，FE=（AD+BC）

②解：連接DM

∵點E，F分別為MN，DN的中點

∴由（1）知EF=DM

∴DM最大時，EF最大

∵M與B重合時DM最大

∴DM=DB==6

∴EF的最大值為3．